Главная - Статьи - Как найти площадь многоугольника формула

Как найти площадь многоугольника формула


Как найти площадь многоугольника формула

Площади многоугольников


Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\). Тогда \(AB’C’D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD\). Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB’\) и \(DCC’\) равны. Таким образом, \(S_{ABCD}=S_{ABC’D}+S_{DCC’}=S_{ABC’D}+S_{ABB’}=S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD.\) \[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\] Определение Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Доказательство Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\). Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\). Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)), поэтому их площади равны.
Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\), то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\).

Теорема Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены. Следствие Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади. Теорема Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство Пусть \(\angle A=\angle A_2\).

Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\)): Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\). Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\), следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\] Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\), следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Урок 34. Площадь многоугольника

Пусть (х1, y1), (x2, у2), …, (хN,уN) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Тогда его ориентированная площадь S будет равна: Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе. Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6; Const n_max=200; {максимальное количество точек+1} type b=record x,y:real; end; myArray= array[1.n_max] of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); {Заполнение массива } begin assign(input,’input.pas’); reset(input); readln(input, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); close(input); end; function Square (A:myarray): real; {Вычисление площади многоугольника} var i:integer; S: real; begin a[n+1].x:=a[1].x; a[n+1].y:=a[1].y; s:=0; for i:=1 to n do s := s + (a[i].x*a[i+1].y — a[i].y*a[i+1].x); s:=abs(s/2); Square := S end; {Square} begin {main} Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln(‘S= ‘,s:6:2); end. Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:50.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5 Выходные данные:S= 3.91 Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин.

Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии.

Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

До встречи на следующем уроке.

  1. 0
  2. 0
  3. 0
  4. 0

Формулы площади геометрических фигур.

S = a · b · sin α

  • Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними. S = 1d1d2 sin γ2 где S — Площадь параллелограмма, a, b — длины сторон параллелограмма, h — длина высоты параллелограмма, d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма, α — угол между сторонами параллелограмма, γ — угол между диагоналями параллелограмма.
    • Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. S = a · h
    • Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. S = 1d1 · d22 где S — Площадь ромба, a — длина стороны ромба, h — длина высоты ромба, α — угол между сторонами ромба, d1, d2 — длины диагоналей.
    • Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. S = a2 · sin α
    • Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту S = 1(a + b) · h2 где S — площадь трапеции, a, b — длины основ трапеции, c, d — длины боковых сторон трапеции, p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.2
    • Формула Герона для трапеции S = a + b√(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)|a — b|
    • Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности S = p · r
    • Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними: S = 1d1 d2 sin α2 где S — площадь четырехугольника, d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.

    Как найти площадь многоугольника

    Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора.

    После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b.

    Пример: Ширина прямоугольника – 3см, диагональ – 5 см.

    Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12.
    Ответ: S прямоугольника = 12см²

    1. S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b – основания трапеции, c и d – остальные две стороны.
    2. S = h×m, где h – высота, m – средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований – 1/2×(a+b).
    3. S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 – диагонали трапеции, а sinα – синус угла между ними.
    4. S = (a+b)×h/2, где a – маленькое, b – большое основание трапеции, h – высота.

    S = 4r²/sinα, где r – радиус вписанной окружности, а sinα – синус угла между стороной и основанием.

    1. S = r×p = 1/2×r×n×a, где r – радиус вписанной окружности, p – половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
    2. S = n×a²/4tg(360°/2n), где n – число сторон правильного многоугольника, а – длина стороны. Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет . Просто вставьте нужное значение и получите ответ.

    Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин.

    Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

    1. Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
    2. Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
    3. Складываем все значение, получаем какое-то число.
    1. Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.
    1. От

    Площадь многоугольника

    » Автор mednik На чтение 2 мин Просмотров 197 Опубликовано 22 января, 2022 Одна из прикладных задач, которые решает геометрия — вычисление площадей многоугольников.

    Это необходимо строителям, земледельцам, конструкторам, летчикам, геологам. Даже в повседневной жизни знание формул, показывающих, как узнать площадь многоугольника, часто выручает при ремонте квартиры или дома. Сначала определимся, что такое многоугольник, и что такое площадь. В геометрии многоугольником называют фигуру на плоскости, образованную замкнутой ломаной линией с количеством звеньев более 2-х.
    В геометрии многоугольником называют фигуру на плоскости, образованную замкнутой ломаной линией с количеством звеньев более 2-х.

    Это все известные и неизвестные нам фигуры, начиная от треугольника — квадрат, трапеция, ромб, шестиугольник, восьмиугольник и т.д. Готовые формулы, как найти площадь многоугольника созданы практически для каждой правильной фигуры с конечным количеством сторон.

    А вот что делать с неправильными?

    Площади самых распространенных многоугольников можно найти по готовым формулам: Правильным многоугольником называется фигура, у которой все стороны равны, а смежные углы одинаковые. Площадь — часть плоскости, в которой лежит фигура, заключенная между ее сторонами.

    Если многоугольник нарисован в тетради в клеточку, то площадь — это количество квадратиков внутри фигуры. За единицу площади принят квадратный метр (м2), или квадратный сантиметр (см2), в зависимости от размеров многоугольника.

    • Квадратный метр — площадь квадрата со сторонами длиной в 1 м;
    • Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
    • В одном м2 помещается 10000 см2;
    • 1 см2 = 1 ∙ 10-4 см.

    не обязательно равна целому числу квадратных единиц.

    Если у вас получится площадь, например, 22, 3 см2, расстраиваться не нужно. Есть еще квадратные миллиметры и более мелкие единицы.

    Чтобы не запоминать десятки готовых формул, можно выучить только одну — как найти площадь многоугольника через периметр. Способ этот простой и не требует большого объема вычислений. Для работы нужны только линейка и карандаш.

    Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивых

    12 апреля210 тыс. прочитали323 тыс. просмотра публикацииУникальные посетители страницы210 тыс.

    прочитали до концаЭто 65% от открывших публикацию2 минуты — среднее время чтенияПодобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике. Решение совершенно несложное. Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее.

    Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких.

    Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки. Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме? Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает.

    Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает.

    По идее в школе о нём должны рассказывать, но. должны, да не обязаны, как говорится. А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.Знаете, был у меня такой случай.

    Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит: — А мы не проходили?— Как это не проходили?

    Это вам точно рассказывали! — говорю я.— Наверное, я болел в это время.То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил.

    Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются. Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти.

    Это формула Пика. Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.Граничные точки обозначил розовым, а внутренние точки в узлах — зеленым.Розовых точек — 14, то есть Г=14.

    Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18.

    Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд.

    Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки.
    Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки.

    Так что обычные формулы площади забывать все-таки не стоит.Для тех, кто только что подключился, напоминаю, что у меня появился , заходите и подписывайтесь.Ещё интересно:

    Как узнать площадь многоугольника?

    Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

    1. S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.
    2. S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
    3. S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;

    Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

    1. S = a * в * sin(α).
    2. S = 1/2 * d1 * d2 * sin(α), где d1 и d2 — диагонали, α — угол между ними;
    3. S = а * н;

    Формула для S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин.

    Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

    • квадрата: S = 2 * R2;
    • треугольника: S = (3√3)/4 * R2;
    • шестиугольника: S = (3√3)/2 * R2.

    Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

    1. разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
    2. вычислить их площади по любой формуле;
    3. сложить все результаты.

    То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x1; y1) для первой, (x2; y2) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (xn; yn).

    Урок математики по теме:»Площадь многоугольника»

    (Ученик по словарю знакомит со значениями.)

    • Большое незастроенное и ровное место.
    • Часть плоскости внутри замкнутой геометрической фигуры.
    • Помещение для какой-либо цели.

    Какое из значений используется в математике?

    В математике используется первое значение.

    (На доске фигура). Это многоугольник?

    Да. Назовите фигуру по-другому.

    Прямоугольник. Покажи длину, ширину. Как найти площадь многоугольника?

    Запишите при помощи букв и знаков формулу.

    S = а * в Если длина нашего прямоугольника 20 см, ширина 10см. Чему равна площадь? Площадь равна 200 см2 Подумайте, как приложить линейку, чтобы фигура разделилась на:

    • Два четырехугольника
    • Треугольник и четырехугольник
      Урок математики по теме:
    • Два треугольника
      Урок математики по теме:
    • Треугольник и пятиугольник
      Урок математики по теме:

    Увидели, из каких частей состоит фигура?

    А теперь, наоборот, по частям соберем целое.

    ( Части фигуры лежат на партах. Дети собирают из них прямоугольник ). Сделайте вывод по наблюдениям.

    Целую фигуру можно разделить на части и из частей составить целую.

    Дома на основе треугольников и четырехугольников составляли фигуры, силуэты.

    Вот какие они получились. (Демонстрация рисунков, выполненных дома учащимися. Одна из работ анализируется).

    Какие фигуры использовал? У тебя получился сложный многоугольник.

    Постановка учебной задачи. На уроке мы должны ответить на вопрос: как найти площадь сложного многоугольника?

    Для чего человеку нужно находить площадь? (Ответы детей и обобщение учителем). Задача определения площади возникла из практики.

    (Показывается план школьного участка).

    Для того чтобы построить школу, сначала создали план. Потом разбивалась территория на участки определенной площади, размещались строения, клумбы, стадион. При этом участок имеет определенную форму — форму многоугольника.

    Решение учебной задачи. (Раздаются листы для исследования).

    Урок математики по теме:

    Перед вами фигура. Назовите ее.

    Площадь многоугольника — определение и вычисление с примерами решения

    Например, пятиугольник на рисунке 136, б можно обозначить

    или

    но нельзя обозначать

    Определение Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

    Например, на рисунке 136, б отрезки

    и

    являются диагоналями пятиугольника

    выходящими из вершины

    Периметр этого многоугольника вычисляется по формуле

    Любой многоугольник делит плоскость на две части.

    Одна из них (на рисунке 136, а она закрашена) является внутренней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, называют плоским многоугольником, или, в некоторых случаях, просто многоугольником. Определение Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, которая содержит его сторону.

    На рисунке 137, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 137, б — невыпуклый.

    Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники. Рассмотрим выпуклый многоугольник

    (рис.

    138). Углы

    .,

    (на рисунке они закрашены) называют углами (внутренними углами) многоугольника

    В частности, угол данного многоугольника при вершине

    на рисунке обозначен одной дужкой.

    Углы, смежные с данным внутренним углом, являются внешними углами многоугольника

    при вершине

    (на рисунке они обозначены двумя дужками).

    Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения

    Заметим, что многоугольники, изображенные на рисунках 196-198, не являются выпуклыми.

    Выпуклый многоугольник обладает такими свойствами:

    • выпуклый многоугольник, отличный от треугольника, содержит любую свою диагональ (рис. 201).
    • выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 200);

    Если многоугольник не является выпуклым, то он такими свойствами не обладает (рис. 198, 202). Теорема 19.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна

    Доказательство. Для случая n = 3 теорема была доказана в 7 классе (теорема 16.1).

    Пусть

    На рисунке 203 изображен выпуклый n-угольник

    Докажем, что сумма всех его углов равна 180° (n-2).

    Проведем все его диагонали, выходящие из вершины

    Эти диагонали разбивают данный многоугольник на (n — 2) треугольника.

    Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника.

    Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°, то искомая сумма равна 180° (n — 2). Отметим, что эта теорема справедлива и для любого многоугольника, не являющегося выпуклым. Определение. Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

    На рисунке 204 изображена окружность, описанная около многоугольника.

    В этом случае также говорят, что многоугольник вписан в окружность. Центр окружности, описанной около многоугольника, равноудален от всех его вершин.

    Следовательно, этот центр принадлежит серединным перпендикулярам всех сторон многоугольника, вписанного в окружность. Около многоугольника можно описать окружность, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Следовательно, если серединные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной точке, то около такого многоугольника можно описать окружность.

    Определение.

    Площадь многоугольника

    Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники. Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE.

    Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

    А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

    Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры.

    Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников.

    В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

    По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу». Размер страницы: 5 10 20 50 100 1000 Название стороны или диагоналиДлинаСохранить Отменить ДанныеДля разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: ? EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ?;50.5Загрузить данные из csv файла

    • backup
    • Выбрать
    • Drag files here

    Импортировать Назад Отменить Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2РассчитатьПлощадь Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.Загрузить Ошибка  Ссылка  Сохранить  Виджет Ссылка скопирована в буфер обмена поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать

     PLANETCALC, Ваше сообщение Сообщать о комментарияхОтправить поделиться расчетомВсе получившие ссылку смогут просматривать этот расчетСкопировать Copyright © PlanetCalc Версия: 3.0.4038.0

    Поспорил, что найду площадь многоугольника в одно действие за 30 сек.

    Рассказываю метод

    30 июня 2020131 тыс.

    прочитали202 тыс. просмотров публикацииУникальные посетители страницы131 тыс. прочитали до концаЭто 65% от открывших публикацию2,5 минуты — среднее время чтенияПредмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным(Паскаль)Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!Вспомнил забавный случай, как около года назад я поспорил с дочкой, что найду площадь любого из представленных выше многоугольников за 30 секунд в одно действие, пока она будет вычислять её множеством действий, как учили в школе.Выиграл. Дочь проспорила мороженое.А раз вспомнил об этом, хочу рассказать и Вам, как просто в одно действие используя одну единственную формулу можно точно вычислить площадь многоугольника любой конфигурации и нет необходимости раскладывать фигуру на несколько простейших.Но, для таких многоугольников есть одно важное условие: каждая вершина должна быть целочисленная, т.е.

    находиться именно в узле сетки.Сетка — клеточная поверхность, на которой изображена фигура.Узел — пересечение линий сетки.Сетка может быть выполнена с любой единицей измерения, ведь площадь измеряется в квадратах выбранной единицы. Если ячейка 1х1 см., то это 1 кв.см., 1х1 м.

    — это 1 кв.м. и т.д.Так вот, существует очень простая формула, которая связывает площадь любого многоугольника с количеством узлов сетки, находящихся на границах отрезков фигуры и внутри самой фигуры.

    Формулу вывел австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г., в честь которого и называется она формулой (теоремой) Пика:где:S — площадь многоугольника;В — количество узлов внутри фигуры (шт.);Г — количество узлов, расположенных в вершинах и на отрезках фигуры (шт).Чтобы стало всё понятно, приведу пример со сложным многоугольником.

    Нам требуется найти площадь фигуры, представленной ниже:Теперь, считаем узлы, расположенные внутри, на вершинах и на отрезках фигуры. Это будут значения В и Г, соответственно:Получаем, что В=16, Г=7, теперь достаточно подставить значения в формулу и получаем: S=Г/2 + В — 1 = 7/2 + 16 -1 = 18,5 кв.ед.Готово.

    Площадь равна 18,5 клеток. Вы можете всё перепроверить и будете приятно удивлены!Плюсы в том, что такая формула легко запоминается и проста в применении! Минус конечно тоже есть, как я упоминал выше — формула не дает точного результата, если хотя бы одна из вершин многоугольника находится вне узла сетки (не целочисленная).Моя дочь уже с успехом применяет эту формулу на занятиях в школе и быстро находит ответы, хотя некоторые учителя не одобряют такой подход и всё же склоняют к классической схеме: разделить многоугольник на элементарные фигуры, вычислить их площади, пользуясь стандартными формулами и сложив их, получить результат.Но, всё же думаю, для скорости расчетов — формула полезна.